Какую математическую задачу за миллион долларов ИИ решит следующей

Восьмого августа 1900 года Давид Гильберт поднялся на трибуну Второго международного конгресса математиков в Париже и вывалил на коллег список из 23 проблем. Это был не просто перечень — это была карта на сто лет вперёд. Спустя век, в 2000 году, Институт Клэя сделал ход конём: отобрал семь самых упрямых нерешённых вопросов математики и объявил, что за решение каждого заплатит миллион долларов. За четверть века человечество справилось ровно с одной. И вот теперь, как пишет Scientific American, математики всерьёз обсуждают, не станет ли следующей жертвой Навье — Стокс — а вместе с ним, возможно, и вся эта стодолларовая (точнее, семимиллионная) история.

А вы вообще слышали про задачи тысячелетия? Большинство людей знает про Перельмана и его отказ от премии, но что там за остальные шесть — вопрос открытый. Давайте разбираться. Не потому что это красиво звучит, а потому что ставки тут не только про деньги: речь о том, как мы понимаем мир и — внезапно — о том, кто именно будет его понимать: человек или модель.

Сначала — что именно произошло

Недавно модель Open AI представила возможное решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. Звучит как строчка из научной фантастики, но за ней стоит довольно прозаичная вещь: текстовый генератор, натренированный на горе математической литературы, выдал рассуждение, которое специалисты не смогли с ходу назвать бессмыслицей.

Именно «не смогли с ходу» — ключевое здесь. Математическое доказательство не работает как рекламный слоган. Его нельзя «запустить» и увидеть результат. Его нужно разобрать по строчкам, проверить каждую лемму, найти место, где автор (или модель) незаметно протащил неверное допущение. Обычно именно там всё и рассыпается.

Тем не менее реакция математического сообщества оказалась не насмешливой, а настороженно-заинтересованной. По данным Scientific American, коллеги начали спорить не о том, случилось ли это вообще, а о том, какая из оставшихся великих задач падёт следующей. Это, пожалуй, самый показательный симптом. Когда сообщество переходит от вопроса «возможно ли это?» к вопросу «что дальше?» — значит, что-то действительно сдвинулось.

Семь задач, один миллион и двадцать пять лет ожидания

Чтобы оценить масштаб, полезно вспомнить, о чём вообще речь. Вот тот самый список Института Клэя — без лишней академической пыли.

Один из семи. За четверть века. Это не потому, что математики ленивые — наоборот, за эти задачи брались лучшие головы планеты, включая лауреатов Филдсовской премии. Просто задачи тысячелетия отбирали не по принципу «сложно», а по принципу «здесь мы упёрлись в стену и не понимаем, где дверь».

И вот к этой стене подвели инструмент, который не устаёт, не боится выглядеть глупо и может перебрать за ночь столько вариантов рассуждений, сколько человек не переберёт за жизнь. Согласны, что это меняет правила игры?

Почему Навье — Стокс — это отдельная головная боль

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости: как вода течёт в трубе, как воздух обтекает крыло, как кровь идёт по сосудам, как формируется турбулентность. Инженеры пользуются ими каждый день, аэродинамика самолётов и прогноз погоды держатся на них. То есть с точки зрения практики всё прекрасно.

Проблема в другом. Никто не доказал, что у этих уравнений в трёхмерном пространстве всегда существуют гладкие решения. Мы умеем их решать численно, мы видим, что они работают, но строгого доказательства, что математическая конструкция не «взрывается» через какое-то время, нет. Существует сценарий, при котором решение уходит в бесконечность за конечное время — и тогда вся теория трещит по швам.

Это и делает задачу лакомой для ИИ. Она не сводится к длинному вычислению, она требует нестандартного хода мысли: найти новый подход, новую оценку, новый способ связать разные ветви анализа. Ровно то, в чём большие языковые модели в последние годы заметно подросли — нащупывать аналогии там, где человек видит глухую стену.

Если вам интересно следить за такими сюжетами на стыке науки и технологий, подписывайтесь на канал — разборов будет ещё много, от математики до космоса.

Так что же следующее? Пять кандидатов

Математики, опрошенные Scientific American, называют разные варианты — и в этом разнообразии как раз отражается вся сложность прогноза. Вот основные ставки.

Гипотеза Римана: самая знаменитая и самая опасная

Формулировка обманчиво проста: все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на прямой с вещественной частью одна вторая. За этим стоит вопрос о том, как распределены простые числа — те самые кирпичики, из которых построена вся арифметика.

Гипотеза Римана — это, пожалуй, главный кандидат на титул «самая важная нерешённая задача математики». От неё зависят оценки в криптографии, теория чисел, алгоритмы проверки простоты. Если она рухнет — рухнет огромный пласт результатов, доказанных «при условии, что гипотеза верна». Это сотни теорем, висящих в воздухе.

Именно поэтому я бы поставил на неё со скепсисом. Задачи, где ошибка стоит слишком дорого, проверяются с особой придирчивостью. Даже если модель выдаст что-то правдоподобное, математики будут грызть доказательство годами. Хотя… именно поэтому такая проверка и станет лучшим тестом на то, умеет ли ИИ делать настоящую математику, а не убедительные тексты о ней.

P против NP: задача, за которую болеют программисты

Есть класс задач, которые компьютер решает быстро — назовём его P. Есть класс задач, решение которых быстро проверить, но найти его трудно — назовём NP. Вопрос в том, совпадают ли эти классы. Практически весь современный интернет держится на предположении, что не совпадают: если бы кто-то доказал обратное, шифрование, защищающее банковские транзакции, развалилось бы за одну ночь.

Почему ИИ может сюда дотянуться? Потому что здесь тоже нужен принципиально новый метод, а не вычислительная мощь. И потому что прогресс в теории сложности за десятилетия минимален: мы даже не знаем, как подступиться к доказательству, что P не равно NP. Это тот случай, когда свежий взгляд с неожиданной стороны может дать больше, чем ещё сто лет классической работы.

Как бы вы поступили, если бы от доказательства зависела безопасность всего интернета? Публиковать сразу или тихо отдать спецслужбам? Вопрос не такой уж праздный — и он регулярно всплывает в дискуссиях вокруг ИИ.

Янга — Миллса: тёмная лошадка

Эта задача выглядит наименее медийной, но, возможно, она ближе всех к тому, что ИИ умеет делать хорошо. Речь о существовании квантовой теории поля Янга — Миллса с ненулевой массовой щелью. Проще говоря: нужно строго доказать, что математические объекты, описывающие сильное взаимодействие частиц, действительно существуют и ведут себя так, как показывает физика.

Физики уверены, что это так: эксперименты сходятся с теорией с точностью до знаков после запятой. Но строго математически — дырка. И тут вступает в дело арсенал, который модели уже неплохо освоили: формальные выкладки, символьные преобразования, проверка тождеств. Если ИИ где-то действительно поможет в ближайшие годы, то скорее в таких «инженерных» разделах доказательной математики, а не в самых абстрактных конструкциях.

Ходжа и Бёрча — Свиннертон-Дайера: тёмный лес

Эти две задачи — про геометрию и теорию чисел. Гипотеза Ходжа связывает топологию алгебраических многообразий с их алгебраической структурой, гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера предсказывает, сколько рациональных точек лежит на эллиптической кривой и как это связано с поведением специальной функции.

Обе требуют языка, который даже у trained математиков вызывает уважительный трепет. Здесь ИИ пока выглядит слабее всего: данных для обучения меньше, аналогии тоньше, интуиция важнее объёма. Ставлю на них меньше всего. Но кто знает — именно такая недооценка часто и заканчивается сенсацией.

Почему математики не спешат радоваться

Есть важная деталь, о которой почти не говорят в новостях. За последние годы было несколько громких заявлений об ИИ, «решившем» трудную математическую задачу. Потом выяснялось, что модель нашла известный результат, переоткрыла старое доказательство или выдала правдоподобный текст, в котором на двенадцатой странице пряталась подмена.

Сама природа больших языковых моделей подталкивает их к убедительности. Они обучены продолжать текст так, чтобы он выглядел правильным. А в математике «выглядит правильно» и «является правильным» — вещи из разных вселенных. Именно поэтому в сообществе так популярны формальные системы вроде Lean: если доказательство проверил компьютер-верификатор, спорить не о чем. Если нет — это пока литература, а не математика.

У этой медали есть и другая сторона. Даже неполное, ошибочное доказательство от ИИ может подсказать человеку дорогу. Так уже случалось: модель выдаёт что-то почти верное, математик видит зацепку, исправляет, доводит до конца — и получает результат. Чем не соавторство? Вопрос лишь в том, каким будет распределение лавров и премий.

При чём тут все мы

Может показаться, что это игры для узкого круга людей, которые пишут на досках мелом. Но за задачами тысячелетия стоят вещи вполне бытовые. Криптография, защищающая ваши платежи, опирается на предположения из теории чисел. Прогноз погоды и расчёт самолётов стоят на уравнениях, которых нет строгого обоснования. Понимание того, как устроены вычисления, определяет, какие алгоритмы мы вообще можем надеяться построить.

И главное: если ИИ действительно научится решать задачи, где человечество буксовало сто лет, это изменит не математику. Это изменит представление о том, какие интеллектуальные задачи вообще остаются человеческими. А это уже вопрос, на который ни у кого нет готового ответа — включая самих математиков.

Мой осторожный прогноз

Если бы меня попросили поставить, я бы сказал так. Первыми падут не самые знаменитые, а самые «инженерные» задачи — те, где нужна аккуратная работа с уже существующим аппаратом, а не прыжок в неизвестное. Янга — Миллса в этом смысле шансов больше, чем у гипотезы Римана. Но по-настоящему важно другое: сам факт, что сообщество перестало смеяться над вопросом «а не решит ли это ИИ», говорит о многом. Ещё пять лет назад такое обсуждение звучало бы как шутка.

Впрочем, у математики есть защита, которой нет у других областей: истина не голосуется. Можно сколько угодно спорить о том, кто решит следующую задачу тысячелетия — ИИ, человек или их тандем. Ответ всё равно будет один, и он будет строгим. И это, честно говоря, успокаивает.

А что вы думаете по этому поводу? Поделитесь своим мнением в комментариях!

Если статья оказалась полезной, поддержите автора донатом.

Чтобы не пропустить новые публикации, подписывайтесь на канал.

Материал подготовлен на основе информации из открытых источников. Все права на исходные материалы принадлежат их авторам. Если вы являетесь правообладателем и возражаете против использования, свяжитесь с нами по адресу info@11st.press.